Question

10．已知三棱锥O-ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O-ABC的体积为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，则球O的体积是$\frac{256}{3}$π．

Answer 1

分析 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．

解答 解：三棱锥O-ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，
∠ABC=120°，AC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵三棱锥O-ABC的体积为$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
△ABC的外接圆的圆心为G，
∴OG⊥⊙G，
外接圆的半径为：GA=$\frac{\sqrt{3}}{2sin120°}$=1，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC•OG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，即$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$OG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴OG=$\sqrt{15}$，
球的半径为：$\sqrt{1+15}$=4．
球的体积：$\frac{4}{3}$π•4³=$\frac{256}{3}$π．
故答案为：$\frac{256}{3}$π．

点评 本题考查球的体积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．