Question

a₁=4，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，令b_n=

an

2n

．
（1）求证{b_n}是等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式，并其求的前项和S_n的通项．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，由此能证明{b_n}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知

an

2n

=2+（n-1）×1=n+1，从而a_n=（n+1）•2ⁿ．由此利用错位相减法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹．

解答： （1）证明：∵a₁=4，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，令b_n=

an

2n

．
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，
∵

a1

2

=2，b_n=

an

2n

，
∴{b_n}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知

an

2n

=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ．
∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1，②
①-②，得：-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．