Question

【题目】对于定义在区间D上的函数，若存在正整数k，使不等式恒成立，则称为型函数.

（1）设函数，定义域.若是型函数，求实数a的取值范围；

（2）设函数，定义域.判断是否为型函数，并给出证明.

（参考数据：）

Answer 1

【答案】（1）（2）是型函数；证明见解析

【解析】

（1）由是型函数,得到在上恒成立,再由的取值范围为,能求出a的取值范围.（2）是型函数.证明如下：①先证明.方法1：记,.由,在上为减函数,求出成立.方法2：记,.,,得, ,推导出.

解:（1）因为是型函数,

所以在上恒成立,

又的取值范围为,所以

所以a的取值范围为.

（2）是型函数.证明如下：①先证明.

方法1：记,.

所以,

所以在上为减函数,

所以,所以.

即,所以成立.

方法2：记,.

记,则,

令,所以,

当时,；当时,,

所以在上为减函数,在上为增函数.

又,,.

又的图象连续不间断,

所以在上存在唯一零点,

且当时,；当时,；

所以在上为减函数,在上为增函数,

所以,

又,所以,

所以得证.