Question

已知函数f（x）=2x³-3ax²+（a²+2）x-a（a∈R）．
（I）若当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）仅有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

解：f′（x）=6x²-6ax+（a²+2），
（I）f′（1）=6-6a+（a²+2），令f′（x）=0，解得a=2或a=4，
当a=2时，f′（x）=6x²-12x+6=6（x-1）²，显然f（x）在x=1处不取得极值；
当a=4时，f′（x）=6x²-24x+18=6（x-1）（x-3），
显然f（x）在x=1处取得极大值．
故a的值为4．
（II）f（x）=2x³-3ax²+（a²+2）x-a
=（2x³-2ax²+2x）-（ax²-a²x+a）
=（x²-ax+1）（2x-a）
得f（x）的一个零点是，又函数f（x）仅有一个零点，
∴△=（-a）²-4×1×1＜0，解得-2＜a＜2，
故a的取值范围（-2，2）．
分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间，从而得出函数的极值情况．
（II）由函数零点的存在定理，我们可以将函数的解析式进行因式分解，最后综合条件，即可得到f（x）=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值可得．
点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的极值，函数零点的判定定理，属于基础题．