Question

设函数f(x)=(x2-20x+c1)(x2-20x+c2)…(x2-20x+c10)，集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，设c₁≥c₂≥…≥c₁₀，则c₁-c₁₀=（　　）

A．83

B．85

C．79

D．81

Answer 1

分析：根据已知M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，可得函数f(x)=(x2-20x+c1)(x2-20x+c2)…(x2-20x+c10)，共有19个零点，结合韦达定理可得x_n=n，1≤n≤19，n∈N^*，
结合c₁≥c₂≥…≥c₁₀，求出c₁，c₁₀，代入c₁-c₁₀可得答案．

解答：解：∵函数f(x)=(x2-20x+c1)(x2-20x+c2)…(x2-20x+c10)，
∵M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，
令0＜x₁＜x₂＜…＜x₁₉，
则由韦达定理可得
x₁+x₁₉=x₂+x₁₈=…=x₁₀+x₁₀=20
则x₁₉＜20
故x_n=n，1≤n≤19，n∈N^*，
∴x₁•x₁₉＜x₂•x₁₈＜…＜x₁₀•x₁₀，
又∵c₁≥c₂≥…≥c₁₀，
∴c₁₀=x₁•x₁₉=19，c₁=x₁₀•x₁₀=100
即c₁-c₁₀=100-19=81
故选D

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系（韦达定理），函数的零点与方程的根的关系，其中根据已知得到x_n=n，1≤n≤19，n∈N^*，是解答的关键．