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某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有位学生,每次活动均需该系位学生参加(都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为
(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(Ⅱ)求使取得最大值的整数.
(Ⅰ)(Ⅱ)
本题是概率压轴题,难度大,文字多,考生不一定能够有时间去读懂,不仅如此还考查到了分类讨论思想,难度更高一层,但细细想来,它也就那回事.第(1)题该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息要从反面角度去思考,没有收到信息的概率是什么,由于A和B是相互独立,,没有收到信息的概率正好是,所以最后的结果就能求出;第(2)题考查的考点比较多,而且都是变量,遇到变量就要做好讨论的准备,于是本题要从两个角度考虑.当时,;当时,整数满足,其中中的较小者,从而表示出,接着要根据题意找出不等关系:,化简分离出,而是否为整数,需要讨论,还需要考虑是否成立的问题,于是,接下来一方面需要讨论是否为整,另一方面要证明,详细的解答如下.
设事件A:“学生甲收到李老师所发信息”,事件B:“学生甲收到张老师所发信息”,由题意A和B是相互独立的事件,则 相互独立,

所以
因此,学生甲收到活动通知信息的概率为
.
时,只能取,有
,整数满足,其中中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为.
时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为,仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为,则由乘法计数原理知:事件所含基本事件数为
此时

化简解得
假如成立,
则当能被整除时,
,故处达到最大值;
则当不能被整除时,处达最大值.(注:表示不超过的最大整数).
下证:
因为,所以
,故,显然.
因此.
【考点定位】考查古典概型,计数原理,分类讨论思想等基础知识.,以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

气象部门提供了某地今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:
日最高气温t (单位:℃)
t22℃
22℃< t28℃
28℃< t  32℃

天数
6
12


由于工作疏忽,统计表被墨水污染,数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.
(Ⅰ) 若把频率看作概率,求的值;
(Ⅱ) 把日最高气温高于32℃称为本地区的 “高温天气”,根据已知条件完成下面列联表,并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关?说明理由.
 
高温天气
非高温天气
合计
旺销
1
 
 
不旺销
 
6
 
合计
 
 
 
附:  

0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是(  )
A.频率就是概率
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增多,频率越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

A、B两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同,已知A、B两个方案至少一个方案试验成功的概率是0.36.
(1)求两个方案均获成功的概率;
(2)设试验成功的方案的个数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,箱中所示数值表示通
电时保险丝被切断的概率,当开关合上时,电路畅通的概率是
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为
40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?
(1) 红灯     (2) 黄灯   (3) 不是红灯

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回.
(Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为,求的分布列和数学期望;
(Ⅱ)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

有甲、乙两个班,进行数学考试,按学生考试及格与不及格统计成绩后,得到如下的列联表
 
根据表中数据,你有多大把握认为成绩及格与班级有关?
附表: 

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

一个口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;
(Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试用概率说明理由.

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同步练习册答案