Question

⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．

Answer 1

(Ⅰ)2，3，13  (Ⅱ)略

：对于任意n∈N*，n²≡0，1(mod 4)．设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除．
⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝4²，2×13＋10＝6²，3×13＋10＝7²．即2，3，13是满足题意的一组自然数．
⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．
这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．