Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）根据f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可．

解答：解：（1））当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，f'（x）=12x²+6x-6（2分）f'（0）=-6．所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．（4分）
（2）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

．（5分）
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
（i）若t＜0，则t＜0，则

t

2

＜-t，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	(-∞， t 2 )	( t 2 ，-t)	（-t，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的单调递增区间是(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)；f(x)的单调递减区间是(

t

2

，-t)．   （8分）
（ii）若t＞0，则-t＜

t

2

，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，t）	(-t， t 2 )	( t 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的单调递增区间是(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)；f(x)的单调递减区间是(-t，

t

2

)．（12分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．