Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225；等比数列{b_n}满足：b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）记c_n=a_n+b_n求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）、根据等差数列和等比数列性质结合题中已知条件，便可求出a₁，d，b₁，q的值，进而求得数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）、由（1）可知c_n=（2n-1）•2ⁿ，分别求出T_n和2T_n的表达式，然后利用利用错位相减求出数列的和．

解答：解：（1）设a_n=a₁+（n-1）d，S_n=

n(a1+an)

2

，
所以 a₃=a₁+2d=5      ①，
S₁₅=

15( a1+a15)

2

=15（a₁+7d）=225
a₁+7d=15         ②
①②联立解得d=2，a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1
设b_n=b₁•q^（n-1），
所以 b₃=a₂+a₃=8，
b₂=

b3

q

，b₅=b₃•q²
∴b₂•b₅=b₃²•q=64•q=128
∴q=2
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=b₃•q^n-3=2ⁿ（n=1，2，3，…）．
（2）∵c_n=（2n-1）•2ⁿ
∵Tn=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2Tn=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
作差：-Tn=2+2³+2⁴+2⁵+…+2 ⁿ⁺¹-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
=2+23（1-2n-1）1-2-（2n-1）•2n+1
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2 ⁿ⁺¹
=2+2ⁿ⁺²-8-2 ⁿ⁺²n+2 ⁿ⁺¹=-6-2ⁿ⁺¹•（2n-3）
∴Tn=（2n-3）•2 ⁿ⁺¹+6（n=1，2，3，…）．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本知识和利用错位相减法求前n 项的和，考查了学生的计算能力，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．