Question

若正实数a，b满足ln（a+b）=0，则

1

a

+

2

b

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：根据对数的运算，由ln（a+b）=0求出a+b=1，利用“1”的代换的思想，将

1

a

+

2

b

转化为（

1

a

+

2

b

）（a+b），展开后利用基本不等式，即可求得答案．

解答：解：∵ln（a+b）=0，
∴ln（a+b）=ln1，
∴a+b=1，
又∵a，b为正实数，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=

b

a

+

2a

b

+3≥2

b a • 2a b

+3=2

2

+3，
当且仅当

b

a

=

2a

b

，即a=

2

-1，b=2-

2

时取等号，
∴

1

a

+

2

b

的最小值为2

2

+3．
故答案为：2

2

+3．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．运用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．本题运用了“1”的代换的思想，解题的关键是将常数1代换为a+b，构造出乘积为最值的求和形式．属于中档题．