Question

有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．
（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M^-1对应的变换作用下所得△A₁B₁C₁的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：

x=cosθ y= 2 2 sinθ

（θ为参数）交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；
（Ⅱ）求sinα的取值范围．
（3）（选修4-5 不等式证明选讲）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：

a

+

b

+

c

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）利用旋转变换矩阵直接可以求出相应的矩阵；（Ⅱ）由于△ABC在旋转变换下所得△A₁B₁C₁与△ABC全等，故三角形的面积不变，从而可求；
（2）（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，可得曲线E的普通方程为 x²+2y²=1，由直线参数方程的特征可得L的参数方程；
（Ⅱ）将L的参数方程代入由线E的方程得（1+sin²α）t²+（4cosα）t+3=0，由△≥0，可得sinα的取值范围；
（3）（I）利用柯西不等式，结合a+b+c=3，可证结论成立；
（Ⅱ）运用基本不等式，结合c=ab，可求c的最大值．

解答：（1）解：（Ⅰ）M=

cos(-45°) -sin(-45°) sin(-45°)   cos(-45°)

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

∵矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”
∴矩阵M^-1表示变换“逆时针旋转45°”
∴M^-1=

cos45° -sin45° sin45°   cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2    2 2

（Ⅱ）三角形ABC的面积S_△ABC=

1

2

×（3-1）×2=2，
由于△ABC在旋转变换下所得△A₁B₁C₁与△ABC全等，故三角形的面积不变，即S_△A1B1C1=2．
（2）解：（Ⅰ）曲线E的普通方程为x²+2y²=1
L的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

（t为参数）                       
（Ⅱ）将L的参数方程代入由线E的方程得（1+sin²α）t²+（4cosα）t+3=0
由△=（4cosα）²-4（1+sin²α）×3≥0得sin2α≤

1

7

∴0≤sinα≤

7

7

（3）（Ⅰ）证明：由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)
代入已知a+b+c=3，∴(

a

+

b

+

c

)2≤9

a

+

b

+

c

≤3
当且仅当a=b=c=1，取等号．
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

得2

ab

+c≤3，若c=ab，则2

c

+c≤3，(

c

+3)(

c

-1)≤0，
所以

c

≤1，c≤1，当且仅当a=b=1时，c有最大值1．

点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用；考查把参数方程化为普通方程的方法，直线的参数方程；考查了一般形式的柯西不等式，综合性强．