Question

（2012•绵阳二模）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|1≤x≤3}的四组函数如下：
①f（x）=x²-x+1，g（x）=3x-2
②f（x）=x³+x，g（x）=3x²+x-1
③f（x）=log₂（x+1），g（x）=3-x
④f（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

），g（x）=

1

4

cos

π

3

x-

3

4

sin

π

3

x
其中，函数f（x）印g（x）在D上为“密切函数”的是

①④

．

Answer 1

分析：对照新定义，构造新函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数的方法确定函数的单调性，从而确定函数的值域，利用若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”，即可得到结论．

解答：解：①f（x）=x²-x+1，g（x）=3x-2
设h（x）=f（x）-g（x）=x²-4x+3
h（x）在[1，2]上单调减，在[2，3]上单调增
∴h（x）的最大值为0，最小值为-1
∴对任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定义
②f（x）=x³+x，g（x）=3x²+x-1
设h（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²+1
h′（x）=3x²+6x，x∈[1，3]，h′（x）＞0
h（x）在[1，3]上单调增
∴h（x）的最大值为55，最小值为5，
∴对任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定义
③f（x）=log₂（x+1），g（x）=3-x
设h（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）+x-3
h（x）在[1，3]上单调增
∴h（x）的最大值为2，最小值为-1，
∴对任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定义
④f（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

），g（x）=

1

4

cos

π

3

x-

3

4

sin

π

3

x
设h（x）=f（x）-g（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）-[

1

4

cos

π

3

x-

3

4

sin

π

3

x]
=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）-

1

2

cos（

π

3

x+

π

3

）
=sin（

π

3

x+

π

6

）
∵x∈[1，3]，∴sin（

π

3

x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴对任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定义
故答案为：①④

点评：本题主要考查了新定义题，主要涉及了函数的单调性，函数的最值求法等，同时考查计算能力，属于中档题．