Question

【题目】设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

Answer 1

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题。

解：（1）设切点，坐标分别为和 ，

切线的方程为：；切线的方程为：；

由于既在又在上，所以解得，

所以的重心的坐标为，

，

所以，由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为：

，即．

（2）方法1：因为，，．

由于点在抛物线外，则．

，

同理有，

．

方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：；而直线的方程：，

即．所以P点到直线BF的距离为：所以，即得．

②当时，直线AF的方程：，即，

直线的方程：，即，

所以P点到直线AF的距离为：

，

同理可得到P点到直线BF的距离，因此由，可得到．