Question

19．已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，函数f（x）=x²-2ax+1．
（1）当a≠0时，解关于x的不等式f（x）≤3a²+1；
（2）若命题“存在x₀∈A，使得f（x₀）≤A”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）≤3a²+1；
（2）命题“存在x₀∈A，使得f（x₀）≤0”的否定为：“对任意的x∈[1，2]，均有x²-2ax+1＞0成立”为真命题．

解答 解：（1）不等式f（x）≤3a²+1整理得x²-2ax-3a²≤0，即（x+a）（x-3a）≤0，
若a＞0，则解集为[-a，3a]，…（2分）
若a＜0，则解集为[-3a，a]．…（4分）
（2）A={x|1≤x≤2}，
命题“存在x₀∈A，使得f（x₀）≤0”的否定为：
“对任意的x∈[1，2]，均有x²-2ax+1＞0成立”为真命题，…（6分）
即$2a＜\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$，只需$2a＜{（x+\frac{1}{x}）_{min}}$，…（8分）
当x=1时，${（x+\frac{1}{x}）_{min}}=2$，所以2a＜2，即a＜1．…（10分）

点评 本题考查特称命题，考查学生转化问题的能力，属于中档题．