Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数a为何值时4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

分析：（1）根据a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

，求出b1=

3

4

，和bn+1=

1

2-bn

，令n=1，2，3即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根据bn+1=

1

2-bn

，进行变形得到

1

bn+1-1

=-1+

1

bn-1

，构造等差数列{

1

bn-1

}，并求出其通项，进而可求出数列{b_n}的通项公式；
（3）根据（2）结果，可以求出数列{a_n}的通项公式，然后利用裂项相消法求S_n，构造函数f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，转化为求函数f（n）的最值问题，可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

∴b1=

3

4

，bn+1=

1-an

(1-an)(1+an)

=

1

1+an

=

1

2-bn

，
b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

6

7

（2）∵bn+1-1=

1

2-bn

-1
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

∴数列{

1

bn-1

}是以-4为首项，-1为公差的等差数列
∴

1

bn-1

=-4-(n-1)=-n-3
∴bn=1-

1

n+3

=

n+2

n+3

；
（3）an=1-bn=

1

n+3

，
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

∴4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

由条件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立
当a＜1时，对称轴n=-

3

2

•

a-2

a-1

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0
f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0
∴a＜

15

4

∴a＜1时4aS_n＜b恒成立
综上知：a≤1时，4aS_n＜b恒成立．

点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（3）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．