Question

13．已知函数f（x）=（x+a）e^x，其中a∈R
（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线与直线y=|2a-1|x平行，求l的方程；
（2）若?a∈[1，2]，函数f（x）在（b-e^a，2）上为增函数，求证：e²-3≤b＜e^a+2．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，利用斜率关系求出a的值，求得A的坐标，代入直线方程点斜式得l的方程；
（2）由f（x）在（b-e^a，2）上为增函数，得到b≥e^a-a-1且b＜e^a+2，令g（a）=e^a-a-1，再由导数证明g（a）的最小值为e²-3得答案．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+（x+a）e^x=（x+a+1）e^x，
则在A（0，a）处的切线的斜率为：f′（0）=a+1，
∵切线与直线平行，故a+1=|2a-1|，解得：a=0或a=2，
若a=0，则A（0，0），f′（0）=1，
∴切线方程是：y-0=1×（x-0），即y=x；
若a=2，则A（0，2），f′（0）=3，
∴切线方程是：y-2=2×（x-0），
即y=2x+2；
（2）证明：当?a∈[1，2]时，函数f（x）在（b-e^a，2）为增函数，
则在此范围内，f′（x）=（x+a+1）e^x≥0恒成立，
∵e^x＞0，则x+a+1≥0，
∵a∈[1，2]，∴b-e^a+a+1≥0且b-e^a＜2，
故b≥e^a-a-1且b＜e^a+2，
令g（a）=e^a-a-1，则g′（a）=e^a-1，
当a∈[1，2]时，g′（a）＞0，
∴g（a）在[1，2]递增，
∴g（a）_max=g（2）=e²-2-1=e²-3，
∴若要b≥e^a-a-1在[1，2]内恒成立，
只需b≥e²-3即可，
综上：e²-3≤b＜e^a+2．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．