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已知函数f(x)=
x3
3
+x2+3ax+1
,动直线l的斜率k=2.
(1)若存在直线l与f(x)的图象相切,求a的取值范围;
(2)若恰好有一条直线l与f(x)的图象相切,求直线l的方程;
(3)若动直线l与f(x)的图象相切点A(x1,y1),且x1∈[-2,2],求a的取值范围.
由题意得f'(x)=x2+2x+3a.
(1)若存在直线l与f(x)的图象相切,设l的斜率为k,
则x2+2x+3a=2,3a=2-x2-2x≤3?a≤1,
∴a的取值范围(-∞,1];
(2)若恰好有一条直线l与f(x)的图象相切,
设切点M(x,y),则x2+2x+3a=2有惟一解,?△=0?a=1,
且x=-1,切点M(-1,-
4
3
),
∴直线l的方程为:y+
4
3
=2(x+1),即:2x+y+
2
3
=0;
(3)若动直线l与f(x)的图象相切点A(x1,y1),
则x12+2x1+3a=2且x1∈[-2,2],
3a=2-x12-2x1∈[-6,3],?a∈[-2,1]
故a的取值范围[-2,1].
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科目:高中数学 来源: 题型:

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型:022

已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.已知函数f(x)=x2,x∈[-1,4]为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,则k的值是_________.

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知函数f(x)、g(x),下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数,则f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)一定是奇函数或偶函数
D.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)可以是奇函数或偶函数

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