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    已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
    （1）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
    （2）若函数g（x）=xf（x）在区间数学公式内单调递减，求a的取值范围．

    解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），
    ∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
    因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax2+2（1-a）x-3a①
    由f（x）+7a=0得ax2+2（1-a）x+4a=0②
    ∵方程②有两个相等的根，
    ∴△=4（1-a）2-16a2=0，
    即3a2+2a-1=0解得a=-1或
    由于a＜0，（舍去），将a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2+4x+3．
    （2）g（x）=xf（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax，
    ∵g（x）在区间内单调递减，
    ∴g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a在上的函数值非正，
    由于a＜0，对称轴，
    故g（x）≤
    注意到a＜0，∴a2+4（1-a）-9≥0，
    得a≤-1或a≥5（舍去）
    故所求a的取值范围是（-∞，-1]．
    分析：（1）依据不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3），可设函数f（x）-2x的解析式为（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）=-7a有两个相等的实数根，通过△求出a的值最后代入f（x）即可．
    （2）根据若函数g（x）区间内单调递减，通过导函数g′（x）＜0，求a的取值范围．
    点评：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．步骤一般是首先确定所求问题含待定系数的解析式．其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程．最后解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
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    f(x)x-1
    ．
    （1）求a的值；
    （2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；
    （3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知二次函数f（x）的图象与x轴的两交点为（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
    （2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

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