Question

已知S_n是数列的前n项和；
（1）分别计算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）证明：当n≥1时，，并指出等号成立条件；
（3）利用（2）的结论，找出一个适当的T∈N，使得S_r＞2008．

Answer 1

【答案】分析：（1）较为简单，代入可计算；
（2）由（1）可猜想（2）的结论也是成立的，证明时要适当的放缩每一项（共2^n-1项）都缩小为 ，
（3）的解答可由（2）的结论想到：新数列S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄…中每一项的值都大于等于 ，那么4018项的和为2009，于是对于数列{a_n}中连同a₁就有2⁴⁰¹⁹项，即a₁+＞1+2009=2010．
解答：解：
（1）S₂-S₁=，
S₄-S₂=，
S₈-S₄=．（2分）
（2）当n≥1时，=+…+（共2^n-1项）
≥×2^n-1=，当且仅当n=1时，等号成立．（4分）
（3）由于S₁=1，当n≥1时，≥，
于是，要使得S_T＞2008，只需 ＞2007．
将 按照第一组2¹项，第二组2²项，，第n组2ⁿ项的方式分组（6分）
由（2）可知，每一组的和不小于 ，且只有n=1时等于 ，
将这样的分组连续取2×2007组，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁵项，
这2⁴⁰¹⁵项之和一定大于1+2007=2008，
故只需T=2⁴⁰¹⁵，就能使得S_T＞2008．
点评：本题考查了数列前n项和的概念，不等式恒成立问题，合理猜想与逻辑推理的概念．对不等式的考查有一定的难度，综合性较强，需要同学有深厚的功底才能胜任本题的解答．