Question

在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，

（1）求点A到直线B′C的距离；

（2）求点A到平面BD′的距离；

（3）求点A′到平面AB′D′的距离；

（4）求平面AB′D′与平面BC′D的距离；

（5）求直线AB到平面CDA′B′的距离.

Answer 1

分析：用直接法求解.

解：(1)由题意作图,易知点A到直线B′C的距离为正△AB′C的边B′C上的高,其值为.

(2)易知直线AO⊥平面BD′,AO的长即为所求,AO=AC=.

(3)易知平面A′ACC′⊥平面AB′D′,在矩形A′ACC′中,易知A′C⊥O′A,设A′C∩O′A=E,且A′E=A′C=,

所以A′E为点A′到平面AB′D′的距离.

(4)易知A′C⊥平面AB′D′，A′C⊥平面BC′D，设直线A′C分别交平面AB′D′、平面BC′D于点E、F，则EF的长为平面AB′D′与平面BC′D的距离，

于是EF=A′C=.

(5)因为直线AB∥平面CDA′B′,所以所求的距离即为点B到平面CDA′B′的距离BG(由BG⊥直线B′C,直线BG⊥平面A′B′CD知),此距离为BC′=.

点拨：求解空间距离,最基本的方法是直接法,做选择,填空题时,往往比向量法简单.