Question

20．二次函数f（x）的图象的顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得的线段长为8．
（1）求函数f（x）解析式；
（2）令g（x）=f（x）+（2a-2）x．
①求函数g（x）在x∈[0，2]上的最小值；
②若x∈[0，2]时，不等式g（x）≤17恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据其顶点坐标用顶点式二次函数通式设抛物线的解析式，然后根据图象在x轴上截得线段长是8，求得图象与x轴交于（-3，0）和（5，0）两点，代入抛物线中即可求得二次函数的解析式；
（2）先求出函数的解析式，确定函数的对称轴，再结合函数的定义域进行分类讨论，一元二次函数的性质分别求出g（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），
∴设二次函数解析式为f（x）=a（x-1）²+16．
又∵图象在x轴上截得线段长是8，
∴图象与x轴交于（-3，0）和（5，0）两点．
∴a（-3-1）²+16=0，
∴a=-1，
∴所求二次函数解析式为f（x）=-x²+2x+15．
（2）①g（x）=f（x）+（2a-2）x=（2a-2）x+f（x）=（2a-2）x+（-x²+2x+15）=-x²+2ax+15=-（x-a）²+a²+15．
对称轴为x=a，
若a≤0时，g（x）在区间[0，2]上为单调减函数，∴g（x）的最小值g（2）=11+4a．
1＜a＜2时，g（x）在区间[0，a]上为单调递增函数，在[a，2]上为单调减函数，
∴x=0时，取得最小值，最小值g（0）=15；
0≤a≤1，时，g（x）在区间[0，a]上为单调增函数，在[a，2]上为单调减函数，
∴当x=2时，取得最小值g（2）=11+4a；
a≥2时，g（x）在区间[0，2]上为单调增函数，∴x=0时，g（x）取得最小值g（0）=15，
即函数g（x）在x∈[0，2]上的最小值为y=$\left\{\begin{array}{l}{11+4a，}&{a≤1}\\{15，}&{a＞1}\end{array}\right.$．
②若x∈[0，2]时，不等式g（x）≤17恒成立，
等价为g（x）_max≤17恒成立．
若a≤0时，g（x）在区间[0，2]上为单调减函数，∴g（x）的最大值g（0）=15．
若a≥2时，g（x）在区间[0，2]上为单调增函数，∴x=2时，g（x）取得最大值g（2）=11+4a；
若0＜a＜2时，g（x）在区间[0，a]上为单调递增函数，在[a，2]上为单调减函数，
∴x=a时，取得最大值，最大值g（a）=a²+15；
即此时函数的最大值为y=$\left\{\begin{array}{l}{15，}&{a≤0}\\{{a}^{2}+15，}&{0＜a＜2}\\{11+4a，}&{a≥2}\end{array}\right.$．
若a≤0，则15≤17成立，
若0＜a＜2，由a²+15≤17得a²≤2，解得-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，此时0＜a≤$\sqrt{2}$，
若a≥2，则由11+4a≤17得4a≤6，解得a≤$\frac{3}{2}$，此时不成立，
综上a≤$\sqrt{2}$．

点评 本题重点考查函数的解析式，考查函数的最值，解题的关键是利用待定系数法假设方程，利用函数对称轴与定义域的关系，合理进行分类讨论．