Question

15．如图，二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=-mx²+4m，求得m=$\frac{1}{2}$，即可求得抛物线的解析式．
（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x大于0，小于抛物线与x正半轴的交点．
（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．

解答 解：（1）∵二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m=$\frac{1}{2}$，∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+2．
（2）∵A点在x轴的正方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又由抛物线关于y轴对称，
∴D、C点关于y轴分别与A、B对称．
∴AD的长为-2x，AB长为y，
∴周长p=2y-4x=2（-$\frac{1}{2}$x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵A在x轴的正半轴上，
∴x＞0，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
∴p=-（x+2）²+8，其中0＜x＜2．
（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：9=-（x+2）²+8，
解此方程得：x无解，∴不存在这样的p．

点评 本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结合，此题算是中档题，考点还是比较基础的．