Question

3．已知奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式（x-1）•f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜1或x＜-2或x＞2}．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的定义进行求解即可．

解答 解：∵奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，
且函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
则f（x）对应的图象如图：
不等式（x-1）•f（x）＜0等价为：
①$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{-2＜x＜0或x＞2}\end{array}\right.$，
∴x＞2．
②$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{0＜x＜2或x＜-2}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜1或x＜-2，
综上不等式的解0＜x＜1或x＜-2或x＞2．
综上：解集为{x|0＜x＜1或x＜-2或x＞2}．
故答案为：{x|0＜x＜1或x＜-2或x＞2}．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数的奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．