Question

13．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（I）若c=2，C=$\frac{π}{3}$，且sinB=2sinA，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若△ABC的面积为12$\sqrt{3}$，bc=48，b-c=2，求a．

Answer 1

分析 （I）由sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a．再利用余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，解出a，b．再利用三角形面积计算公式即可得出．
（II）由$\frac{1}{2}bcsinA$=12$\sqrt{3}$，bc=48，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得A，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b-c）²+2bc-2bccosA，解出即可．

解答 解：（I）∵sinB=2sinA，∴由正弦定理可得：b=2a．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴2²=a²+（2a）²-2a×2a×$cos\frac{π}{3}$，
化为a²=$\frac{4}{3}$，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×sin\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（II）∵$\frac{1}{2}bcsinA$=12$\sqrt{3}$，bc=48，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b-c）²+2bc-2bccosA=52或146，
∴a=2$\sqrt{13}$或$\sqrt{146}$．

点评 本题考查了三角函数的面积计算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．