Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA=AB=2，E为PD中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于点O，连接EO，因为O为BD中点，E为PD中点，可得EO∥PB，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明；
（2）因为P点在平面ABCD内的射影为A，可得PA⊥平面ABCD，又因为在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；
（3）取AD中点L，过L作LK⊥AC于K，连接EK、EL，可得EL⊥平面ABCD，所以∠EKL为二面角E-AC-D的平面角，然后在Rt△ADC中，LK⊥AC，求∠EKL的正切值，从而求解．

解答：解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．（1分）
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB （2分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，（3分）
∴PB∥平面AEC、（4分）

（2）证明：∵P点在平面ABCD内的射影为A，
∴PA⊥平面ABCD∵CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．（5分）
又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，（6分）
∴CD⊥平面PAD、（7分）
又∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．（8分）

（3）解法1：取AD中点L，过L作LK⊥AC于K，连接EK、EL，（9分）
∵L为AD中点，
∴EL∥PA，
∴EL⊥平面ABCD，
∴LK为EK在平面ABCD内的射影．
又∵LK⊥AC，∴EK⊥AC，（11分）
∴∠EKL为二面角E-AC-D的平面角．（12分）
在Rt△ADC中，LK⊥AC，
∴△AKL∽△ADC，
∴

KL

DC

=

AL

AC

，即

KL

2

=

1

2 2

，∴KL=

2

2

，（13分）
在Rt△ELK中，tan∠EKL=

EL

KL

=

1

2 2

=

2

，
∴二面角E-AC-D的正切值为

2

．（14分）
解法2：
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．（9分）
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．（10分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴

AP

是平面ABCD的法向量，

AP

=（0，0，2）．
设平面AEC的法向量为

n

=(x，y，z)，

AE

=(0， 1， 1)，

AC

=(2， 2， 0)，
则

n • AE =0 n • AC =0.

即

0+y+z=0 2x+2y+0=0.

∴

z=-y x=-y.

∴令y=-1，则

n

=(1， -1， 1)．（12分）
∴cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP |•| n |

=

2

2× 3

=

1

3

，（13分）
∴tan＜

AP

，

n

＞=

2

．
∴二面角E-AC-D的正切值为

2

．（14分）

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断，难度比较大，属于高考压轴的题，第一问的此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习，注意这方面的题．