Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0），B（0，-1），动点P（x，y）满足：=m+(m-1)(m∈R).

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹与双曲线C:=1(a＞0,b＞0)交于相异两点M、N，若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于，求双曲线C的方程.

Answer 1

解：（1）由已知(x,y)=m(1,0)+(m-1)(0,-1)，

∴∴x+y=1,即点P的轨迹方程为x+y-1=0.

（2）由得(b²-a²)x²+2a²x-a²-a²b²=0.

∵点P轨迹与双曲线C交于相异两点M,N,

∴b²-a²≠0,且Δ=4a²-4(b²-a²)(-a²-a²b²)＞0,(*)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则

x₁+x₂=,x₁x₂=.

∵以MN为直径的圆经过原点,∴·=0,即x₁x₂+y₁y₂=0.

∴x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=0,得1+=0,即b²-a²-2a²b²=0. ①

∴e=.∴e²==3.∴b²=2a².②∴由①②解得a=,b=.

经检验a=,b=符合（*）式，∴双曲线C的方程为4x²-2y²=1.