Question

已知函数f(x)=

x

2x+1

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）若数列{b_n}前n项和为S_n=2ⁿ-1，记Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=f（a_n）可得a_n-1=

an

2an+1

，两边取倒数进行整理变形，符合等差数列的定义，从而得到结论；
（II）通根据（I）先求出{a_n}的通项，然后通过S_n=2ⁿ-1求出b_n的通项公式，代入Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，利用错位相消法求出所求即可．

解答：解：（1）由已知得：a_n-1=

an

2an+1

，
∴

1

an-1

=

2an+1

an

=2+

1

an

∴

1

an+1

-

1

an

=2，∴数列{

1

an

}是等差数列
（2）由（1）得

1

an

=1+(n-1)2=2n-1，∴an=

1

2n-1

由S_n=2ⁿ-1，∴b_n=2^n-18分∴Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1
∴2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ

∴(1-2)Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)2n =-3+(3-2n)2n

∴T_n=3-（3-2n）2ⁿ

点评：本题主要考查了数列的求和以及等差数列的判断和错位相消法，属于中档题，同时考查了计算能力．