Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若

OB

=a1

OA

+a2009

OC

，且A，B，C三点共线（O为该直线外一点），则S₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：根据三点共线可知直线上一个向量可以用另一个表示得

AB

=t

AC

，再根据向量的三角运算法则得

OB

=（1-t）

OA

+t

OC

，而

OB

=a1

OA

+a2009

OC

，得到a₁+a₂₀₀₉=1；再根据等差数列的前n项和公式得到s_n=

n(a1+an)

2

得，令n=2009得到s₂₀₀₉即可．

解答：解：A，B，C三点共线得

AB

=t

AC

，所以

OB

=

OA

+

AB

=

OA

+t

AC

=

OA

+t（

OC

-

OA

）=（1-t）

OA

+t

OC

，
由

OB

=a1

OA

+a2009

OC

得1-t=a₁，t=a₂₀₀₉，所以a₁+a₂₀₀₉=1；
而s_n=

n(a1+an)

2

得s₂₀₀₉=

2009

2

故答案为

2009

2

点评：考查学生掌握等差数列的前n项和的能力，运用向量的共线定理的能力．考查等差数列，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．