【题目】已知函数,
.
(1)讨论的单调性;
(2)设函数,若
有两个零点
.
(i)求的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(1)见解析;(2)(i);(ii)证明见解析.
【解析】
(1),分
,
,
,
四种情况讨论即可;
(2)(i)由(1)知,且
在
处取得极大值
,当
时,
, 当
时,
,所以只需
,构造函数解不等式即可;(ii)构造函数
,
,利用导数结合
的单调性证明即可.
(1),
①当时,
,
;
∴在
上单调递减,在
上单调递增;
②当时,
,∴
在
上单调递增;
③当时,
,
或
,
,∴
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
④当时,
,
或
,
,∴
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
(2),
(i)若,则
恒成立,
在
上递增,所以
至多一个零点,与已知不符合,故
当时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
所以在
处取得极大值,为
当时,
, 当
时,
∵有两个零点,所以只需极大值
,即
设,
则,所以
在
上单调递减
又,所以使得
的
.
(ii)结合(i)的分析,不妨设,
设,
,
所以
当时,
,∴
在
上单调递增.
∵,且
,∴
又,∴
,
由,可知
与
均属于
,
又在
上单调递减,
∴由,即
.
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【题目】已知函数定义域为
,部分对应值如表,
的导函数
的图象如图所示. 下列关于函数
的结论正确的有( )
A.函数的极大值点有
个
B.函数在上
是减函数
C.若时,
的最大值是
,则
的最大值为4
D.当时,函数
有
个零点
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为的直线
与以原点为圆心,半径为
的圆交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,且
,当
取得最小值时,求直线
的方程.
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【题目】气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据:(记录数据都是正整数)
①甲地5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地5个数据的中位数为27,总体均值为24;
③丙地5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____.
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【题目】某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训,在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .
(1)求的值;
(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名?
(3)已知,求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.
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【题目】(本小题满分12分)
已知椭圆:
的左、右顶点分别为A,B,其离心率
,点
为椭圆上的一个动点,
面积的最大值是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过椭圆右顶点
的直线
与椭圆的另一个交点为
,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,当
时,求点
的坐标.
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【题目】已知函数.
(1)若函数在
处的切线方程为
,求实数
,
的值;
(2)若函数在
和
两处取得极值,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若,求实数
的取值范围.
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