Question

设定义域为R₊的函数f（x），对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时有f（x）＞0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
③若f（

1

a

）=-1，求满足不等式f（1-x-2x²）≤1的x的取值范围．

Answer 1

①令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
②f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则

x1

x2

＞1，
∴f（

x1

x2

）＞0，
∴f(x1)-f(x2)=f(x2?

x1

x2

)-f(x2)=f(x2)+f(

x1

x2

)-f(x2)=f(

x1

x2

)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
③∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令y=

1

x

，则f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
又f（

1

a

）=-1，
∴f（a）=1，
由②知，f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
∴不等式f（1-x-2x²）≤1等价为f（1-x-2x²）≤f（a），
则

1-x-2x2＞0，(1) 1-x-2x2≤a，(2)

由不等式（1）得-1＜x＜

1

2

，
∵不等式（2）可化为：2x²+x+a-1≥0，
1⁰当△=9-8a≤0，即a≥

9

8

时，不等式（2）恒成立，此时，所求解集为x∈(-1，

1

2

)．
2⁰当△=9-8a＞0时，又∵a＞0，∴0＜a＜

9

8

．
此时，不等式（2）的解为x≤

-1- 9-8a

4

或x≥

-1+ 9-8a

4

．
又∵0＜a＜

9

8

，
∴0＜9-8a＜9，
∴-1＜

-1- 9-8a

4

＜

-1+ 9-8a

4

＜

1

2

．
∴此时所求解集为：x∈(-1，

-1- 9-8a

4

]∪[

-1+ 9-8a

4

，

1

2

)．
综上，当a≥

9

8

时，所求解集为x∈(-1，

1

2

)
当0＜a＜

9

8

时，所求解集为：x∈(-1，

-1- 9-8a

4

]∪[

-1+ 9-8a

4

，

1

2

)．