Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁=2，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，M是棱BC的中点，N是CC₁中点，求
（1）二面角B₁-AN-M的大小；
（2）C₁到平面AMN的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：法一：（1）建立坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-AN-M的大小．
（2）求出

NC1

=(0，0，1)，利用向量法能求出C₁到平面AMN的距离．
法二：（1）由已知AM⊥BC，BC=2，AM=1，AM⊥平面BCC₁B₁，平面⊥AMN⊥平面BCC₁B₁，作B₁H⊥MN于H，HR⊥AN于R，连B₁R，∠B₁RH是二面角B₁-AN-M的平面角，由此能求出二面角B₁-AN-M的大小．
（2）由已知得C₁到平面AMN的距离等于C到平面AMN的距离，设C到平面AMN的距离为h，由V_C-AMN=V_N-AMC，能求出结果．

解答： 解法一：
解：（1）建立坐标系如图所示，
则A(0，0，0)，M(

2

2

，

2

2

，0)，N(0，

2

，1)，B1(

2，

0，2)，…1分

AM

=(

2

2

，

2

2

，0)，

AN

=(0，

2

，1)，

AB

=(

2

，0，2)
设平面AMN的法向量为

m

=(p，q，r)，
平面AB₁N的法向量为

n

=(s，t，k)…2分
由

AM

•

m

=0，

AN

•

m

=0，得

2

2

p+

2

2

q=0，

2

q+r=0，
令p=1，则q=-1，r=

2

，于是

m

=(1，-1，

2

)．…3分
由

AB1

•

n

=0，

AN

•

n

=0，得

2

s+2k=0，

2

t+k=0，
令k=-

2

，则s=2，t=1，于是

n

=(2，1，-

2

)．…4分

m

•

n

=-1，|

m

|=

1+1+2

=2，|

n

|=

4+1+2

=

7

，
cos＜

m

，

n

＞

-1

2× 7

=-

7

14

…5分
∵二面角B₁-AN-M的大小arccos

7

14

．…6分
（2）∵

NC1

=(0，0，1)，
∴C₁到平面AMN的距离：d=

| m • NC1 |

| m |

=

2

2

．…12分
解法二：
解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=

2

，M是棱BC的中点．
∴AM⊥BC，BC=2，AM=1，
∴AM⊥平面BCC₁B₁，
∴平面⊥AMN⊥平面BCC₁B₁．…2分
作B₁H⊥MN于H，HR⊥AN于R，连B₁R
∵平面AMN∩平面BCC₁B₁=MN
∴B₁H⊥平面⊥AMN，又由三垂线定理知，B₁R⊥AN，
∴∠B₁RH是二面角B₁-AN-M的平面角…3分
由已知得 AN=

3

，MN=

2

B1M=

5

=B1N，
则B1H=

3 2

2

，
又Rt△AMN～Rt△HRN，

RH

AM

=

HN

AN

，
∴RH=

6

6

，
∴B1R=

HR2+B1H2

=

14 3

cos∠B1RH=

RH

B1R

=

7

14

…5分
∴二面角B₁-AN-M的大小arcos

7

14

．…6分
（2）∵N是CC₁中点
∴C₁到平面AMN的距离等于C到平面AMN的距离
设C到平面AMN的距离为h，
由V_C-AMN=V_N-AMC，
得

1

3

×

1

2

AM•MN•h=

1

3

×

1

2

AM•MC，
∴h=

2

2

．…12分

点评：本题考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．