Question

设函数f（α）=

(1+cos2α)cos( 3 2 π-α)

2cos(π+α)

．
（1）设A是△ABC的内角，且为钝角，求f（A）的最小值；
（2）设A，B是锐角△ABC的内角，且A+B=

7π

12

，f（A）=1，BC=2，求△ABC 的三个内角的大小和AC边的长．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式以及诱导公式化简函数的表达式，通过角的范围利用正弦函数的值域求出函数的最小值．
（2）通过A，B是锐角△ABC的内角，且A+B=

7π

12

，f（A）=1，求出三个角的大小，结合BC=2，利用正弦定理，求出AC边的长．

解答： 解：（1）∵f(α)=

2cos2α•(-sinα)

-2cosα

+cos2α=sinαcosα+cos2α
=

1

2

sin2α+

1

2

cos2α+

1

2

=

2

2

sin(2α+

π

4

)+

1

2

…（3分）
∵A是△ABC的内角，且为钝角，
∴A∈(

π

2

，π)，∴2A+

π

4

∈(

5π

4

，

9π

4

)…（4分）
∴sin(2A+

π

4

)的最小值为-1，…（5分）
∴f(A)min=

1- 2

2

…（6分）
（2）∵f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1
∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

…（7分）
∵A是锐角△ABC的内角∴A=

π

4

，
又∵A+B=

7

12

π
∴B=

π

3

，∴C=

5

12

π…（10分）
由BC=2及

BC

sinA

=

AC

sinB

可得

2

sin π 4

=

AC

sin π 3

解得AC=

6

…（12分）

点评：不考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．