Question

15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x₀，使得对任意的实数x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，则ω的最小值为$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 根据条件f（x₀）≤f（x）≤f（x₁+2016π）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的周期的性质建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x₀，
使得对任意的实数x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，
则f（x₀）为函数的最小值，f（x₀+2016π）为函数的最大值，
则x₀+2016π-x₀ =n•$\frac{T}{2}$=2016π，∵T=$\frac{2π}{ω}$，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=2016π，
即ω=$\frac{2nπ}{2016π}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2016}$，∵n∈N^•，∴当n=1时，ω=$\frac{1}{2016}$为最小值，
故答案为：$\frac{1}{2016}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数的最值以及三角函数的周期公式是解决本题的关键，属于中档题．