Question

20．求证：${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+n${A}_{n}^{n}$=${A}_{n+1}^{n+1}$-1．

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明即可．

解答 证明：①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+k${A}_{k}^{k}$=${A}_{k+1}^{k+1}$-1，
则当n=k+1时，${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+k${A}_{k}^{k}$+（k+1）${A}_{k+1}^{k+1}$=${A}_{k+1}^{k+1}$-1+（k+1）${A}_{k+1}^{k+1}$
=（k+2）${A}_{k+1}^{k+1}$-1
=${A}_{k+2}^{k+2}$-1，即当n=k+1时命题成立；
由①②可知，${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+n${A}_{n}^{n}$=${A}_{n+1}^{n+1}$-1．

点评 本题考查排列及排列数公式，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．