Question

11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0）．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）定义：当函数取得最值时，函数图象上对应的点称为函数的最值点，如果函数y=F（x）=$\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}$的图象上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆x²+y²=k²（k＞0）的内部或圆周上，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的周期为π可得ω=2，再由对称中心为（$\frac{π}{4}$，0）可得φ值，由函数图象变换和诱导公式可得；
（2）由三角函数的知识可得F（x）与原点距离最近的最大值和最小值点分别是点$（\frac{k}{2}，\sqrt{3}）$和$（-\frac{k}{2}，-\sqrt{3}）$，由题意结合图象可得${（\frac{k}{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}≤{k^2}$，解不等式可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又∵曲线y=f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
∴sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，可得$φ=\frac{π}{2}$，∴f（x）=cos2x，
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的图象，
由诱导公式化简可得g（x）=sinx；
（2）∵函数y=F（x）=$\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}$在$\frac{πx}{k}=nπ+\frac{π}{2}（n∈Z）$时取得最大值或最小值，
当$x=nk+\frac{k}{2}$，即与原点距离最近的最大值和最小值点分别是点$（\frac{k}{2}，\sqrt{3}）$和$（-\frac{k}{2}，-\sqrt{3}）$，
于是有${（\frac{k}{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}≤{k^2}$，解不等式可得k≥2．

点评 本题考查三角函数图象变换，数形结合转化已知问题是解决问题的关键，属中档题．