Question

2．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=$\frac{a}{2}$sinC．
（Ⅰ）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（Ⅱ）求tanB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦定理求得2sinB=sinAsinC，化简$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$为 $\frac{sinB}{sinAsinC}$，从而求得结果．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得tanB=$\frac{{sin}^{2}A}{2-sinAcosA}$，进一步化为 $\frac{1}{{2（\frac{1}{tanA}-\frac{1}{4}）}^{2}+2-\frac{1}{8}}$，再利用二次函数的性质，求得它的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵b=$\frac{a}{2}$sinC，∴2sinB=sinAsinC，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{2sinB}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得 2sinB=sinAsinC=sinAsin（A+B）=sinA（sinAcosB+cosAsinB）=sin²AcosB+sinAcosAsinB，
∴2tanB=sin²A+sinAcosAtanB，∴tanB=$\frac{{sin}^{2}A}{2-sinAcosA}$=$\frac{{sin}^{2}A}{{2sin}^{2}A+{2cos}^{2}A-sinAcosA}$=$\frac{{tan}^{2}A}{{2tan}^{2}A+2-tanA}$ 
=$\frac{1}{2+2{•（\frac{1}{tanA}）}^{2}-\frac{1}{tanA}}$=$\frac{1}{{2（\frac{1}{tanA}-\frac{1}{4}）}^{2}+2-\frac{1}{8}}$．
锐角△ABC中，∵tanA＞0，∴$\frac{1}{tanA}$＞0，故当$\frac{1}{tanA}$=$\frac{1}{4}$时，2tanB取得最大值为$\frac{1}{\frac{15}{8}}$=$\frac{8}{15}$，
故tanB的最大值为$\frac{8}{15}$．

点评 本题主要考查正弦定理，三角恒等变换，二次函数的性质应用，属于中档题．