Question

3．如图，圆O为四边形ABCD的外接圆，过B、D两点的切线交于点E，AE交圆O于点C．
（1）证明：AB•CD=BC•AD；
（2）延长DC交BE于F，若EF=FB，证明：AD∥BE．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的相似，结合切线长相等，即可证明：AB•CD=BC•AD；
（2）利用切割线定理，结合BF=EF，证明出△EFC∽△DFE，进而证明∠EFC=∠DAC，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵过B、D两点的切线交于点E，
∴EB=ED，∠EBC=∠EAB，∠EDC=∠EAD
∵∠BEA=∠CEB，∠CED=∠DEA，
∴△EBC∽△EAB，△EDC∽△EAD，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{EA}{EB}$，$\frac{AD}{CD}=\frac{EA}{ED}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
∴AB•CD=BC•AD；
（2）∵BF²=FC•FD，BF=EF，
∴EF²=FC•FD，
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{FD}{EF}$，
∵∠EFC=∠DFE，
∴△EFC∽△DFE，
∴∠FEC=∠FDE，
∵∠FDE=∠EAD，
∴∠EFC=∠DAC，
∴AD∥BE．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的证明与性质的运用，证明三角形相似是关键．