Question

已知定义在R上的奇函数f（x），f（1）=2，对任意的x＞0，f'（x）＞2，则不等式f（x）＞2x的解集为（　　）

A．（-∞，-1）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：构造函数g（x）=f（x）-2x，利用导数研究其单调性，再利用奇函数的性质即可得出．

解答：解：令g（x）=f（x）-2x，则g′（x）=f′（x）-2，
∵当x＞0时，f′（x）＞2．
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵g（1）=f（1）-2=0，
∴当x∈（0，+∞）时，g（x）＞0的解集为（1，+∞），即不等式f（x）＞2x的解集为（1，+∞）．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）也是定义在R上的奇函数．
∴当x∈（-∞，0）时，g（x）＞0的解集为（-1，0），即不等式f（x）＞2x的解集为（-1，0）．
综上可知：不等式f（x）＞2x的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．
故选D．

点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．