Question

为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．
（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；
（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；
（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M₁，“B申请甲套住房”为事件M₂．由事件A和B是独立事件，能求出A，B两人都申请甲套住房的概率．
（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．
（Ⅲ）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
法二：依题意得，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M₁，“B申请甲套住房”为事件M₂
那么A，B两人都申请甲套住房的概率

所以甲、乙两人都申请甲套住房的概率为…（3分）
（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，

所以A，B两人不选择同一套住房的概率是
…（7分）
（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，那么；
 ；
；
；
所以ξ的分布列为

ξ		1	2	3
P

…（11分）
所以…（12分）
（方法二）依题意得
所以ξ的分布列为，k=0，1，2，3．
即

ξ		1	2	3
P

…（11分）
所以 …（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．