Question

14．[示范高中]设不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，集合N=[1，4]，且M⊆N，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用判别式法求出不等式x²-2ax+a+2≤0的解集M，根据M⊆N，求出对应a的取值范围．

解答 解：因为不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，N=[1，4]；
当△=4a²-4（a+2）＜0，即-1＜a＜2时，M=∅，满足题意；…（2分）
当△=0，a=-1，M={-1}不合题意，a=2时，M={2}满足题意；…（4分）
当△＞0时，即a＞2或a＜-1时，令f（x）=x²-2ax+a+2，
要使M⊆[1，4]，只需$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜4}\\{f（1）=3-a≥0}\\{f（4）=18-7a≥0}\end{array}\right.$，
解得2＜a≤$\frac{18}{7}$；9分
综上，a的取值范围是-1＜a≤$\frac{18}{7}$．（12分）

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了集合的运算问题，是综合性题目．