Question

已知函数f(x)=mx³-x的图象上以N(1,n)为切点的切线倾斜角为.

(1)求m、n的值;

(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1 993,对于x∈［-1,3］恒成立?若存在,求出最小的正整数k,否则,请说明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3mx²-1,f′(1)=tan=1.

∴3m-1=1.∴m=.

从而由f(1)= -1=n得n=.∴m=,n=.

(2)f′(x)=2x²-1=2(x+)(x),令f′(x)=0得x=±.

在［-1,3］中,当x∈［-1,］时f′(x)＞0,f(x)为增函数,

当x∈［,］时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.

∴此时f(x)在x=时取得极大值.

当x∈［,3］时,f(x)＞0,f(x)为增函数时,f(3)为f(x)的极大值.

比较f(),f(3)知,f(x)_max=f(3)=15.

∴由f(x)≤k-1 993,知15≤k-1 993.∴k≥2 008,即存在k=2 008.