Question

已知函数f（x）=2e^2x+2x+sin2x．
（Ⅰ）试判断函数f （x）的单调性并说明理由；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，1]，不等式组

f(2kx-x2)＞f(k-4) f(x2-kx)＞f(k-3)

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，利用其导函数值的正负来判断函数f （x）的单调性即可；
（Ⅱ）先把问题转化为

x2-2kx+k-4＜0 x2-kx-k+3＞0

，对于任意x∈[0，1]恒成立；再分别求出两段成立时实数k满足的条件，两个相结合即可求出实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）在R上单调递增．利用导数证明如下：
因为f（x）=2e^2x+2x+sin2x，
所以，f'（x）=4e^2x+2+2cos2x＞0在R上恒成立，
所以f（x）在R上递增．（5分）
（Ⅱ）由于f（x）在R上递增，不等式组可化为

x2-2kx+k-4＜0 x2-kx-k+3＞0

，对于任意x∈[0，1]恒成立．
令F（x）=x²-2kx+k-4＜0对任意x∈[0，1]恒成立，
必有

F(0)＜0 F(1)＜0

，即

k-4＜0 1-2k+k-4＜0

，解之得-3＜k＜4，
再由x²-kx-k+3＞0对任意x∈[0，1]恒成立可得k＜

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

-2，
在x∈[0，1]恒成立，因此只需求

x2+3

x+1

的最小值，而（x+1）+

4

x+1

-2≥2．
当且仅当x=1时取等号，故k＜2．
综上可知，k的取值范围是（-3，2）．（12分）

点评：本题第一问主要考查利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．