Question

（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和均值（数学期望）.

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）

【解析】

试题分析：解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．

列出这3个人参与该项活动的所有可能结果，统计其中至少有2个人接受挑战的可能结果，再根据古典概型的概率公式，即可求出概率；（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为，根据离散型随机变量的概率即可求出概率和分布列，进而求出期望. 解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为．（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”， 根据离散型随机变量的概率即可求出结果； （Ⅱ）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以，进而求出期望.

试题解析：解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．

这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种； 2分

其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，，，，共有4种． 3分

根据古典概型的概率公式，所求的概率为． 4分

（说明：若学生先设“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成,,，,,,,，不扣分．）

（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列为：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望为． 12分

解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，

所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为． 1分

（Ⅰ）设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，

则． 4分

（Ⅱ）因为为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，

所以． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列为：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望为． 12分.

考点：1. 离散型随机变量的概率;2.分布列;3.数学期望.