Question

1．已知f₁（x）=x，且对任意的n∈N^*，f_n（1）=1，f′_n+1（x）=f_nx+xf′_nx．
（1）求f_n（x）的解析式；
（2）设函数g_n（x）=f_n（x）+f_n（m-x），x∈（0，m），m＞0，对于任意的三个数${x_1}，{x_2}，{x_3}∈[\frac{m}{2}，\frac{2m}{3}]$，以g₃（x₁），g₃（x₂），g₃（x₃）的值为边长的线段是否可构成三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据导数的运算法则，和归纳推理即可得到f_n（x）的解析式，
（2）先证明g（x）在[$\frac{m}{2}$，$\frac{2m}{3}$]上是增函数，再利用两边之和大于第三边，即可确定结论．

解答 解：（1）∵f′_n+1（x）=f_nx+xf′_nx．f₁（x）=x
∴f′₂（x）=f₁x+xf′₁x=x+x=2x，
∴f₂（x）=x²+c，
∴f₂（1）=1²+c=1，
∴c=0，
∴f₂（x）=x²，
∴f′₃（x）=f₂x+xf′₂x=x²+x•2x=3x²，
∴f₃（x）=x³+c，
∴f₃（1）=1+c=1，
∴c=0，
∴f₃（x）=x³，
由以上可以推出
∴f_n（x）=xⁿ，
（2）g_n（x）=f_n（x）+f_n（m-x），
∴g_n（x）=xⁿ+（m-x）ⁿ，
∴g₃（x）=x³+（m-x）³
以g₃（x₁），g₃（x₂），g₃（x₃）值为边长的三条线段可以构成三角形．
事实上，∵g（x）=x³+（m-x）³，
∴g'（x）=3x²-3（m-x）²=6mx-3m²=3m（2x-m）
∵当x∈[$\frac{m}{2}$，$\frac{2m}{3}$]时，g'（x）＞0，
∴g（x）在[$\frac{m}{2}$，$\frac{2m}{3}$]上是增函数，
∴在x=$\frac{m}{2}$处取得最小值$\frac{{m}^{3}}{4}$，在$\frac{2m}{3}$处取最大值$\frac{1}{3}$m³．
不妨设x₁≤x₂≤x₃，则$\frac{{m}^{3}}{4}$≤g（x₁）≤g（x₂）≤g（x₃）≤$\frac{1}{3}$m³．
而g（x₁）+g（x₂）≥2×$\frac{{m}^{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$^m3＞$\frac{1}{3}$m³=g（x₃），
因此g₃（x₁），g₃（x₂），g₃（x₃）的值为边长的三条线段可以构成三角形．

点评 本题考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．