Question

设，函数，．
（I）试讨论函数的单调性
（II）设，求证：有三个不同的实根．

Answer 1

当时，函数在上递减，在上递增，在上递减；
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上递增，在上递减，在上递增．

解：（Ⅰ）∵．           ……………2分
∴当时，方程的解为：或时无解，时为，
当时，方程的解为：时无解，时为．
∴当时，函数在上递减，在上递增，在上递减；
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上递增，在上递减，在上递增．                             　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………7分
（Ⅱ）∵，由（Ⅰ）可知，的取值随着x的变化如下：

∴当时，极小值为，
当，极大值为．　　　　　　　　……………10分
∵，∴，
∴极小，极大值为，
因此，时，方程一定有三个不同的实根．…………12分