Question

设函数.
（Ⅰ）求f (x)的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式f (x)<m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）f (x)的递增区间是，递减区间是（-1, 0）
（Ⅱ）当时，不等式f (x)<m恒成立.（Ⅲ）a的取值范围是

（Ⅰ）函数的定义域为（-1, +∞）.…………………………………………… 1分
∵, 
由，得x>0；由，得.…………………3分
∴f (x)的递增区间是，递减区间是（-1, 0）.………………… 4分
（Ⅱ）∵由，得x=0,x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f (x)在上递减，在上递增. 
高三数学（理科）答案第3页（共6页）
又，, 且.
∴当时，f (x)的最大值为.
故当时，不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分
（Ⅲ）方程, .
记,
∵,  
由,得x>1或x<-1（舍去）.  由, 得.
∴g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增.
为使方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，
只须g(x)=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有
∵, 
∴实数a的取值范围是.