Question

（本小题满分14分）已知直线L：与抛物线C：，相交于两点，设点，的面积为.
（Ⅰ）若直线L上与连线距离为的点至多存在一个，求的范围。
（Ⅱ）若直线L上与连线的距离为的点有两个，分别记为，且满足 恒成立，求正数的范围.

Answer 1

（1）；
（2） 。

本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系以及直线与圆的位置关系的综合运用。
（1）由已知， 直线L与抛物线相交，所以得到方程组，得到一元二次方程中判别式大于零，同时又直线L与以M为圆心的单位圆相离或相切，所以点到直线的距离等于圆的半径得到关系式。
（2）由题意可知，当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点   C，D时，由题意可知，当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点  C，D时，可得CD的长度，以及F(K)的值，进而借助于不等式得到结论。
解：（1）由已知， 直线L与抛物线相交，所以
，即… (1)
又直线L与以M为圆心的单位圆相离或相切，所以，…（2）
由（1）（2）得：
…………………7分
（2）由题意可知，当直线L与以M为圆心的单位圆相交于点   C，D时，可得，且
令，
令，
，当且仅当取到最小值是
所以，    …………………………14分