Question

(本小题满分14分) 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线、.（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）求证:以ON为直径的圆与直线相切；（3）求线段MN的长（用表示），并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.

Answer 1

（1） ；（2）见解析； （3）

此题属于二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系，梯形的中位线定理，综合性较强，关键是要求同学们能将所学的知识融会贯通．
（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），然后代入抛物线方程，用含y₂的式子表示出ON，设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，利用梯形的中位线定理可得出EF，与所求ON的值进行比较即可得出结论；
（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，在RT△MNH中表示出MN²，结合直线方程将MN²化简，求出MN，然后延长NP交l₂于点Q，过点M作MS丄l₂交l₂于点S，则MS+NQ=y₁+2+y₂+2，利用根与系数的关系，求出，并代入，从而可得出结论。
解答：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为
由 ，解得，所以 ……………………4分
（2）设，因为点M、N在抛物线上，

所以，，所以；
又=，所以ON=，又因为，
所以ON
设ON的中点为E，分别过点Ｎ、Ｅ向直线作垂线，垂足分别为P、F，
则   所以ON=2EF，
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半， 所以以ON为直径的圆与直线相切.                                          …………………………………9分
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则
又，所以
所以；
又因为点M、N既在的图象上，又在抛物线上，所以，即，
所以，
所以，所以 所以 
延长NP交于点Ｑ，过点Ｍ作ＭＳ⊥交于点S，
则MS+NQ=
又=所以MS+NQ=
即MN两点到距离之和等于线段MN的长.…………………………………………14