Question

（13分）已知抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合。
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A，B两点
（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；
（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程，如果不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）y²=4x；（2）（i）|AB|=；
（ii）存在直线m:x=3满足题意。

本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解，属于中档题
（1）根据抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合，设出抛物线方程，即可求得抛物线D的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（i）直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求|AB|；
（3） 设存在直线m：x=a满足题意，则圆心M()，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²=(a-3)x₁+4a-a²，由此可得结论．
解：（1）y²=4x（3分）
（i）A（x₁,y₁） B（x₂,y₂）  |AB|=（4分）
（ii）设存在直线m:x=a，满足题意，则圆心M，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得｜EG｜²=｜MG｜²-|ME|²=（a-3）x₁+4a-a²
当a=3时，弦长恒为定值2 因此存在直线m:x=3满足题意（6分）