Question

已知圆C：x²+y²-4y-6y+12=0，求：
（1）过点A（3，5）的圆的切线方程；
（2）在两条坐标轴上截距相等的圆的切线方程．

Answer 1

分析：（l）设过点A（3，5）的直线?的方程，利用直线?与⊙C相切，圆心到直线的距离等于半径，建立等式，即可求得切线方程；由于过圆外一点A与圆相切的直线有两条，因此另一条切线方程为斜率不存在时；
（2）设在两坐标轴上截距相等的直线方程x+y=a或y=kx，利用直线?与⊙C相切，圆心到直线的距离等于半径，建立等式，即可求得切线方程．

解答：解：（l）设过点A（3，5）的直线?的方程为y-5=k（x-3）．
因为直线?与⊙C相切，而圆心为C（2，3），则

|2k-3-3k+5|

k2+1

=1，解得k=

3

4

所以切线方程为y-5=

3

4

（x-3），即3x-4y+11=0．
由于过圆外一点A与圆相切的直线有两条，因此另一条切线方程为x=3．
（2）因为原点在圆外，所以设在两坐标轴上截距相等的直线方程x+y=a或y=kx．
由直线与圆相切得，

|2+3-a|

2

=1或

|2k-3|

k2+1

=1，解得a=5士

2

，k=

6±2 2

3

故所求的切线方程为x+y=5士

2

或y=

6±2 2

3

x．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．